StudyPointAll - ষষ্ঠ-দ্বাদশ শ্রেণি, ভর্তি ও চাকরি পরীক্ষার জন্য

সেট ও ফাংশন।। ৯ম-১০ম শ্রেণি।। সম্পূর্ণ সমাধান।

ভূমিকা: সেট ও ফাংশন (নবম-দশম শ্রেণি) 🧠

সেট ও ফাংশন গণিতশাস্ত্রের একটি মৌলিক ও গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায়, যা গাণিতিক যুক্তি ও সমস্যা সমাধানের ভিত্তি স্থাপন করে। বাস্তব বা চিন্তা জগতের বস্তুর সুনির্ধারিত সংগ্রহ বা সমাবেশকে সেট বলা হয়। জার্মান গণিতবিদ জর্জ ক্যান্টর (১৮৪৫ - ১৯১৮) সেট সম্পর্কে প্রথম ধারণা ব্যাখ্যা করেন এবং তাঁর তত্ত্বই সেট তত্ত্ব নামে পরিচিত।

এই অধ্যায়ের মূল বিষয়বস্তু:

সেট: সেট কী, সেটের ধারণা, সেট প্রকাশের পদ্ধতি (তালিকা পদ্ধতি ও সেট গঠন পদ্ধতি), সসীম ও অসীম সেট, ফাঁকা সেট, উপসেট, সার্বিক সেট এবং সেটের সংযোগ, ছেদ, অন্তর ও পূরক সেট সম্পর্কিত ধারণা।
ফাংশন: ক্রমজোড়, কার্তেসীয় গুণজ, অন্বয় (সম্পর্ক) এবং ফাংশন বা অপেক্ষা (একটি বিশেষ ধরনের অন্বয়) সম্পর্কিত সম্যক ধারণা।
ব্যবহার: এই অধ্যায়ে শেখা ধারণাগুলি ব্যবহার করে গাণিতিক সমস্যা সমাধান, ভেন চিত্রের মাধ্যমে সেটের প্রক্রিয়া ব্যাখ্যা

, এবং ফাংশনের ডোমেন, রেঞ্জ ও লেখচিত্র অঙ্কন করা হয়।

এই অধ্যায়টি শিক্ষার্থীদের মধ্যে যুক্তি ও বিশ্লেষণধর্মী চিন্তাভাবনার বিকাশ ঘটাবে এবং উচ্চতর গণিতের বিভিন্ন জটিল ধারণা বোঝার জন্য পথ প্রশস্ত করবে।

সেট

প্রশ্ন ১. নিচের সেটগুলোকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর

(ক) {x ∈ N : x² > 9 এবং x³ < 130}

সমাধান : যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ 9 অপেক্ষা বড় এবং ঘন 130 অপেক্ষা ছোট তাদের সেট।

আমরা জানি, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট,

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ……..}

এখানে,

x = 1 হলে, x² = 1⊁9 এবং x³ = 1 < 130

x = 2 হলে, x² = 4⊁9 এবং x³ = 8 < 130

x = 3 হলে, x² = 9 ≥9 এবং x³ = 27 < 130

x = 4 হলে, x² = 16 > 9 এবং x³ = 64 < 130

x = 5 হলে, x² = 25 > 9 এবংx³ = 125< 130

x = 6হলে x² = 36 > 9 এবং x³= 216 ⊀ 130

∴ নির্ণেয় সেট = {4, 5} ans

(খ) {x ∈ Z : x²>5 এবং x³≤ 36}

সমাধান : যে সকল পূর্ণসংখ্যার বর্গ 5 অপেক্ষা বড় এবং 35 অপেক্ষা বড় নয় তাদের সেট।

আমরা জানি,

পূর্ণসংখ্যার সেট Z = { . . – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 .. }

এখানে,

x = 0 হলে, x² = 0 ⊁5 এবং 0 < 36

x = ±1 হলে, x² = ±1 1 ⊁5 এবং 1 < 36

x = ±2 হলে, x² = ±4⊁5 এবং 4 < 36

x = ±3 হলে, x² = ±9 > 5 এবং 9 < 36

x = ±4 হলে, x² =± 16 > 5 এবং 16 < 36

x = ±5 হলে, x²=± 25 > 5 এবং 25 < 36

x = ±6 হলে, x²= ±36 > 5 এবং 36 = 36

x = ±7 হলে, x²=± 49 > 5 এবং 49 ⊀ 36

………………………………………………

∴নির্ণেয় সেট = {± 3, ±4, ±5, ±6}(গ){x ∈ N : x, 36 এর গুণনীয়ক এবং 6 এর গুণিতক }

সমাধান : যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা 36 এর গুণনীয়ক এবং 6 এর গুণিতক তাদের সেট।

আমরা জানি,

স্বাভাবিক সংখ্যা সেট N = (1, 2, 3, 4, 5, . . . . .. )

এখানে, 36 = 1×36

= 2 ×18

= 3×12

= 4×9

= 6×6

∴ 36 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

এবং 6 এর গুণিতকসমূহ 6, 12, 18, 24, 30, 36 . . . . . .

∴36 এর গুণনীয়ক এবং 6 এর গুণিতকগুলো হলো যথাক্রমে 6, 12, 18, 36

নির্ণেয় সেট = {6, 12, 18, 36}

প্রশ্ন ২. নিচের সেটগুলোকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ কর:

(ক) {3, 5, 7, 9, 11}

সমাধান : প্রদত্ত সেটের উপাদানসমূহ 3, 5, 7, 9, 11

এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা যা 1 থেকে বড় এবং 13 থেকে ছোট।

নির্ণেয় সেট = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং 1＜x＜13}

(খ) {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

সমাধান : প্রদত্ত সেটের উপাদানসমূহ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 36 এর গুণনীয়ক।

নির্ণেয় সেট = {x ∈N : x, 36 এর গুণনীয়ক}

প্রশ্ন ৩. A = {2, 3, 4}, B = {1, 2, a} এবং C = {2, a, b} হলে, নিচের সেটগুলো নির্ণয় কর।

(ক) A ∩ C

সমাধান : দেওয়া আছে, A = {2, 3, 4}

এবং C = {2, a, b}

∴ A ∩ C = {2, 3, 4} ∩ {2, a, b}

= {2} (Ans.

(খ) A ∪ (B ∩ C)

সমাধান : দেওয়া আছে, A = {2, 3, 4}, B = {1, 2, a}

এবং C = {2, a, b}

এখন, B ∩ C = {1, 2, a} ∩ {2, a, b} = (2, a)

∴A ∪ (B ∩ C) = {2, 3, 4} ∪ {2, a}

= {2, 3, 4, a} (Ans.)

(গ) A ∩ (B ∪ C)

সমাধান : দেওয়া আছে, A = {2, 3, 4}, B = {1, 2, a}

এবং C = {2, a, b}

এখন, B ∪ C = {1, 2, a} ∪ {2, a, b} = (1, 2, a, b)

∴ A ∩ (B ∪ C) = {2, 3, 4} ∩ {1, 2, a, b} = {2} (Ans.)

প্রশ্ন ৪. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6} এবং C = {3, 4, 5, 6, 7} হলে, নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে সত্যতা যাচাই কর :

(i) (A ∪ B)’= A‘∩ B‘

সমাধান : দেওয়া আছে, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},

A = {1, 3, 5}

B = {2, 4, 6}

বামপক্ষ=(A ∪ B)’=U-( A ∪ B)
এখন, A ∪ B ={1,3,5}∪{2,4,6}={1,2,3,4,5,6}
∴ U-( A ∪ B)= {1,2,3,4,5,6,7}-{1,2,3,4,5,6}

={7}
আবার,

ডানপক্ষ= A’ ∩ B’=(U-A) ∩ (U-B)
(U-A)= {1,2,3,4,5,6,7}-{1,3,5}={2,4,6,7}
(U-B) {1,2,3,4,5,6,7}-{2,4,6}={1,3,5,7}
∴ (U-A) ∩ (U-B)= {2,4,6,7} ∩ {1,3,5,7}

={7}
∴বামপক্ষ=ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

(ii) (B ∩ C)‘ = B‘ ∪ C‘

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, U={1,2,3,4,5,6,7}

A={1,3,5}, B={2,4,6}

C={3,4,5,6,7}
এখন,

বামপক্ষ=(B ∩ C)’=U-(B ∩ C)
তাহলে, (B ∩ C)= {2,4,6}∩{3,4,5,6,7}

={4,6}
∴U-(B ∩ C)= {1,2,3,4,5,6,7}-{4,6}

={1,2,3,5,7}
আবার,

ডানপক্ষ=B’ ∪ C’=(U-B) ∪(U-C)
তাহলে,
(U-B)= {1,2,3,4,5,6,7}-{2,4,6}

={1,3,5,7)
(U-C)= {1,2,3,4,5,6,7}-{3,4,5,6,7}

={1,2}
∴ (U-B) ∪(U-C)={1,3,5,7} ∪ {1,2}

={1,2,3,5,7}
∴বামপক্ষ=ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

(iii) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

সমাধান : দেওয়া আছে, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},

A = {1, 3, 5},

B = {2, 4, 6}

C = {3, 4, 5, 6, 7}

এখন, A ∪ B = {1, 3, 5} ∪ {2, 4, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

∴ বামপক্ষ = (A ∪ B) ∩ C

= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ {3, 4, 5, 6, 7}

= {3, 4, 5, 6}

আবার, A ∩ C = {1, 3, 5} ∩ {3, 4, 5, 6, 7}

= {3, 5}

এবং B ∩ C = {2, 4, 6} ∩ {3, 4, 5, 6, 7}

= {4, 6}

∴ ডানপক্ষ = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) = {3, 5} ∪ {4, 6}

= {3, 4, 5, 6}

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ ( প্রমাণিত)

প্রশ্ন ৫. A = {a, b}, B = {a, b, c} এবং C = A ∪ B হলে, দেখাও যে, P(C) এর উপাদান সংখ্যা 2n, যেখানে n হচ্ছে C এর উপাদান সংখ্যা।

সমাধান : দেওয়া আছে, A = {a, b}, B = {a, b, c}

C = A ∪ B

∴ C= A ∪ B

= {a, b} ∪ {a, b, c} = {a, b, c}

এখন,

C সেটের উপসেটগুলো হলো ={a, b, c}, {a, b}, {b, c}, {a, c},{a}, {b}, {c}, ∅

∴ P(C) = {{a, b, c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a}, {b}, {c}, ∅}

∴ P(C) এর উপাদান সংখ্যা = 8 = 2³

∴ C সেটের উপাদান সংখ্যা হ হলে P(C) এর উপাদান সংখ্যা 2n (দেখানো হলো)

প্রশ্ন ৭. A = {1,2,3} হলে, P(A) নির্ণয় কর।

সমাধান: দেওয়া আছে,

A = {1,2,3}

∴ P(A) = {{1,2,3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1}, {2}, {3}, ∅}

প্রশ্ন ৮. (ক) (x – 1, y + 2) = (y – 2, 2x + 1) হলে, x এবং y এর মান নির্ণয় কর।***

সমাধান : দেওয়া আছে, (x – 1, y + 2) = (y – 2, 2x + 1)

ক্রমজোড়ের সংজ্ঞানুসারে,x – 1 = y – 2 . . . . . .. . . (i)

এবং y + 2 = 2x + 1 . . . . .. . (ii)

সমীকরণ (i) হতে পাই, x – 1 = y – 2

বা, x = y – 2 + 1

∴ x = y – 1 . . . . .. . (iii)

সমীকরণ (ii)-এ x এর মান বসিয়ে পাই,

y + 2 = 2(y – 1) + 1

বা, y + 2 = 2y – 2 + 1

বা, y – 2y =–2 + 1 – 2

বা, – y = –3

∴ y = 3

এখন, সমীকরণ (iii) এ y এর মান বসিয়ে পাই,

x = 3 – 1

∴ x = 2

নির্ণেয় মান x = 2, y = 3

(খ) (6x – y, 13) = (1, 3x + 2y) হলে, (x, y) নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, (6x – y, 13) = (1, 3x + 2y)

ক্রমজোড়ের সংজ্ঞানুসারে, 6x – y = 1 . . . . (i)

এবং 13 = 3x + 2y

∴ 3x + 2y = 13 . . . . (ii)

সমীকরণ (i) কে ২ দ্বারা গুণ করে (ii) নং সমীকরণের সাথে যোগ করি,

12x –2y = 2

3x + 2y = 13

15x = 15 (যোগ করে)

∴ x = 1

সমীকরণ (ii) এ x এর মান বসিয়ে পাই, 3× 1 + 2y = 13

বা, 3 + 2y = 13

বা, 2y = 13 – 3

বা, 2y = 10

বা, y = ∴ y = 5

নির্ণেয় মান (x, y) = (1, 5)

প্রশ্ন ৯. (ক) A = {3, 4, 5}, B = {4, 5, 6} এবং C ={x,y} হলে, (A ∩B) × C নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে,

A = {3, 4, 5},

B = {4, 5, 6}

C = {x, y}

এখানে,A ∩ B = {3, 4, 5} ∩ {4, 5, 6}

= {4, 5}

∴ (A ∩ B) × C = {4, 5} × {x, y}

= {(4, x), (4, y), (5, x), (5, y)}

∴ (A ∩ B) × C = {(4, x), (4, y), (5, x), (5, y)} (Ans.)

(খ) P = {3, 5, 7}, Q = {5, 7} এবং

R = PQ হলে, (P ∪ Q) × R নির্ণয় কর।***

সমাধান : দেওয়া আছে,

P = {3, 5, 7} এবং Q = {5, 7}

∴ R = PQ = {3, 5, 7} {5, 7}

= {3}

এখানে, P ∪ Q = {3, 5, 7} ∪ {5, 7}

= {3, 5, 7}

∴ (P ∪ Q) × R = {3, 5, 7} ´ {3}

= {(3, 3), (5, 3), (7, 3)}

∴ (P ∪ Q) × R = {(3, 3), (5, 3), (7, 3)} (Ans.)

প্রশ্ন ১০. A ও B যথাক্রমে 35 এবং 45 এর সকল গুণনীয়কের সেট হলে, A ∪ B এবং A ∩ B নির্ণয় কর।***

সমাধান : সমাধানঃ

35 এর গুণনীয়ককের উপাদাঙ্গুলো হলোঃ 1,5,7
45 এর গুণনীয়ককের উপাদাঙ্গুলো হলোঃ 3,5,9,15,45
∴A={1,5,7},

B = {1,3,5,9,15,45}
∴ A ∪ B={1,5,7} ∪ {1,3,5,9,15,45}

={1,3,5,7,9,15,35,45}
A ∩ B ={1,5,7} ∩ {1,3,5,9,15,45}

={1,5}

প্রশ্ন ১১. যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 346 এবং 556 কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 31 অবশিষ্ট থাকে, এদের সেট নির্ণয় কর।

সমাধান : যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 346 এবং 556 কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 31 অবশিষ্ট থাকে, সে সকল সংখ্যা হবে 31 অপেক্ষা বড় এবং 346 –31 = 315 এবং 556- 31 = 525 এর সাধারণ গুণনীয়ক।