৯ম শ্রেণী (বাংলা) সমাপনী পরীক্ষার সাজেশন-২০২৫ (ভোকেশনাল)

১. যদি U={1,2,4,5,6,7}, A={1,5}, B={2,4,6} হয়, তবে প্রমাণ করো যে, (A U B)^c = A^c ∩ B^c

সমাধান:

A U B = {1, 5} U {2, 4, 6}

           = {1, 2, 4, 5, 6}

A^c = U \ A

    = {1,2,4,5,6,7} \ {1,5}

    = {2, 4, 6, 7}

B^c = U \ B

     = {1,2,4,5,6,7} \ {2,4,6}

     = {1, 5, 7}

বামপক্ষ :

               (A U B)^c

              = U \ (A U B)

              ={1,2,4,5,6,7} \ {1, 2, 4, 5, 6}

              = {7}

ডানপক্ষ A^c ∩ B^c 

 = {2, 4, 6, 7} ∩ {1, 5, 7} 

= {7}

.^.. বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

 

২. (x-1, y+2) = (y-2x, 2x+1) হলে, x ও y এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

    x - 1 = y - 2x

            বা,x + 2x  - y = 1

          বা,3x  - y = 1.........(i)

এবং,

y + 2 = 2x + 1

বা, -2x + y = -2+1

বা, -2x + y = -1 .......(ii)

(i) ও (ii) যোগ করে পাই:

(3x - y) + (-2x + y) = 1 + (-1)

বা, 3x - y -2x + y = 1 -1

.^.. x = 0

x এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে:

3(0) - y = 1

       বা,-y = 1

       .^..y = -1

উত্তর: x = 0 এবং y = -1

 

৩. যদি f(y) = y³ + ky² - 4y - 8 হয়, তবে k এর কোন মানের জন্য f(-2)=0 হবে?

সমাধান:

y = -2 বসিয়ে পাই:

f(-2) = (-2)³ + k(-2)² - 4(-2) - 8 = 0

বা,-8 + 4k + 8 - 8 = 0

বা,4k - 8 = 0

বা,4k = 8

.^..k = 2

উত্তর: k = 2

৪. প্রমাণ করো যে, √ 3 একটি অমূলদ সংখ্যা।

প্রমাণঃ ধরি √ 3 একটি মূলদ সংখ্যা।

তাহলে এমন দুইটি পরস্পর সহমৌলিক স্বাভাবিক সংখ্যা p,q ＞1 থাকবে যে, √ 3 =

বা, 3 =  [বর্গ করে]

অর্থাৎ 3q =   [ উভয়পক্ষকে q দ্বারা গুণ করে]

স্পষ্টত 3q পূর্ণসংখ্যা কিন্তু   পূর্ণসংখ্যা নয়, কারণ p ও q স্বাভাবিক সংখ্যা, এরা পরস্পর সহমৌলিক এবং q ＞1

∴ 3q এবং   সমান হতে পারেনা অর্থাৎ 3q ≠  

∴ √ 3  কে   আকারে প্রকাশ করা যাবে না, √ 3 ≠ 

∴ √ 3 একটি অমূলদ সংখ্যা।     

৫. সরল করো। (0.3×0.83) ÷ (0.5×0.1) + 0.35 ÷ 0.08

সমাধান:

    (0.3×0.83) ÷ (0.5×0.1)+0.35 ÷ 0.08

         × )  ÷  ×)+    ÷    

 × )  ÷  ×)+    ÷    

           ÷  +    ÷    

           ×  +    ×    

        +4

           =9 ans

 

৬. প্রমাণ করো যে, যেকোনো বিজোড় পূর্ণসংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা।

সমাধান:-

যেকোনো বিজোড় পূর্ণসংখ্যাকে 2n+1 আকারে লেখা যায় (n পূর্ণসংখ্যা)।

বর্গ: (2n+1)²

 = 4n² + 4n + 1

= 2(2n² + 2n) + 1

ধরি, M = 2n² + 2n (যা একটি পূর্ণসংখ্যা)।

বর্গফলটি 2M+1 আকারের, যা একটি বিজোড় সংখ্যা।(প্রমাণিত)

 

৭. যদি a^x = b, b^y = c, c^z = a হয় তবে দেখাও যে xyz=1

সমাধান:-

      c^z = a       সমীকরণে c এর মান বসিয়ে:

বা,(b^y)^z = a

বা,(a^x)^yz = a

 বা,a^xyz = a¹

.^..xyz = 1 (প্রমাণিত)

 

৮. (a^l/a^m)ⁿ × (a^m/aⁿ)^l × (aⁿ/a^l)^m = 1 এর মান কত?

সমাধান:-

  (a^l/a^m)ⁿ × (a^m/aⁿ)^l × (aⁿ/a^l)^m

 =(a^l-m)ⁿ × (a^m-n)^l × (a^n-l)^m

= (a^ln-mn)ⁿ × (a^ml-nl)^l × (a^nm-ml)^m

= a^{ln-mn+ml-nl+nm-ml}

= a⁰

= 1

উত্তর: 1

 

৯. দেখাও যে, 3log10² + 2log10³ + log10⁵ = log10³⁶⁰

বামপক্ষ : 3log10² + 2log10³ + log10⁵

= log10^(2³) + log10^(3²) + log10⁵

= log10⁸ + log10⁹ + log10⁵

= log10^{(8 × 9 × 5)}

= log10³⁶⁰ (প্রমাণিত)

 ভোকেশনাল নবম শ্রেণীর গণিত জ্যামিতি অংশের সমাধান দেখুন এই লিংকে -------

১০. x - 1/x = 4 হলে, প্রমাণ করো যে, x⁴ + 1/x⁴ = 322

সমাধান:

(x - 1/x)² = 4²   [বর্গ করে ]

বা,x² - 2 + 1/x² = 16

বা,x² + 1/x² = 16+2

বা,x² + 1/x² = 18

বা,(x² + 1/x²)² = 18²  [বর্গ করে ]

বা,x⁴ + 2 + 1/x⁴ = 324

বা,x⁴ + 1/x⁴ = 324 - 2

.^..x⁴ + 1/x⁴ = 322 (প্রমাণিত)

১১. a+b=√ 7এবং a-b=√ 5 হলে, প্রমাণ করো যে, 8ab(a²+b²)=24

4ab = (a+b)² - (a-b)²      

       = (√ 7)² - (√ 5)²

       = 7 - 5

      = 2

এবং,

2(a²+b²)

= (a+b)² + (a-b)²

 = (√ 7)² + (√ 5)²

 = 7 + 5

= 12

বামপক্ষ: 8ab(a²+b²)

             = [4ab] × [2(a²+b²)]

            = 2 × 12

= 24 (প্রমাণিত)

১২. p-q=r হলে, দেখাও যে, p³ - q³ - r³ = 3pqr

    দেওয়া আছে,

                        p - q = r

                       বামপক্ষ:

                               p³ - q³ - r³

                                    বা, (p-q)³ + 3pq(p-q)-r³

                                     বা, r³ + 3pq(r)-r³

                                 বা,  3pqr  (ডানপক্ষ)

                    বামপক্ষ=ডানপক্ষ (প্রমাণিত)

 

১৩. 2x - 2/x = 3 হলে, প্রমাণ করো যে, 8(x³ - 1/x³) = 63

দেওয়া আছে:

2(x - 1/x) = 3

 বা, x - 1/x = 3/2

বামপক্ষ: 8(x³ - 1/x³)

= 8 [ (x - 1/x)³ + 3(x)(1/x)(x - 1/x) ]

= 8 [ (3/2)³ + 3(3/2) ]

= 8 [ 27/8 + 9/2 ]

= 8 [ 27/8 + 36/8 ]

= 8 [ 63/8 ]

= 63 (প্রমাণিত)

 

১৪. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো। ax² + (a² + 1)x + a

= ax² + a²x + 1x + a

= (ax² + a²x) + (x + a)

= ax(x + a) + 1(x + a)

= (x + a)(ax + 1)

উত্তর: (x + a)(ax + 1)

গণিতের পূর্ণাঙ্গ সাজেশন নিচের লিংকে -----

গণিত সাজেশন- এস এস সি (নবম) পরীক্ষা -২০২৫ (ভকেশনাল)